Jupyter Notebook desenvolvido por Gustavo S.S.
A análise de malhas também é conhecida como análise de laço ou método malha corrente.
Lembre-se de que um laço é um caminho fechado que não passa mais de uma vez pelo mesmo nó. Uma malha é um laço que não contém qualquer outro laço dentro de si.
O circuito da Figura 3.15a tem dois ramos que se cruzam, porém ele pode ser redesenhado como na Figura 3.15b. o circuito da Figura 3.15a também é planar; entretanto, o circuito da Figura 3.16 é não planar, pois não há nenhuma maneira de redesenhá-lo sem que haja algum cruzamento entre ramos.
Malha é um laço que não contém nenhum outro laço em seu interior.
O sentido da corrente de malha é arbitrário (sentido horário ou anti-horário) e não afeta a validade da solução.
Etapas na determinação de correntes de malha:
Resolução para a figura 3.17.
Malha 1:
\begin{align} {\Large -V_1 + R_1i_1 + R_3(i_1 - i_2) = 0} \\{\Large (R_1 + R_3)i_1 - R_3i_2 = V_1} \end{align}Malha 2:
\begin{align} {\Large R_2i_2 + V_2 + R_3(i_2 - i_1) = 0} \\{\Large -R_3i_1 + (R_2 + R_3)i_2 = -V_2} \end{align}Reorganizando as equações, temos:
\begin{align} \begin{bmatrix} R_1 + R_3 & -R_3 \\ -R_3 & R_2 + R_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_1 \\ -V_2 \end{bmatrix} \end{align}Note que as correntes de ramo são diferentes das de malha, a menos que a malha esteja isolada. Para distinguir entre os dois tipos de correntes, usaremos i para indicar correntes de malha e I para indicar correntes de ramo. Os elementos de corrente I1, I2 e I3 são somas algébricas das correntes de malha. Fica evidente da Figura 3.17 que:
\begin{align} {\Large I_1 = i_1} \\{\Large I_2 = i_2} \\{\Large I_3 = i_1 - i_2} \end{align}Exemplo 3.5
Para o circuito da Figura 3.18, determine as correntes de ramo I1, I2 e I3 usando a análise de malhas.
In [1]:
print("Exemplo 3.5")
import numpy as np
V1 = 15
V2 = 10
#Malha 1:
#-V1 + 5i1 + 10(i1 - i2) + V2 = 0
#15i1 - 10i2 = 5
#3i1 - 2i2 = 1
#Malha 2:
#-V2 + 10(i2 - i1) + 6i2 + 4i2 = 0
#20i2 - 10i1 = 10
#2i2 - i1 = 1
coef = np.matrix('3 -2;2 -1')
res = np.matrix('1;1')
I = np.linalg.inv(coef)*res
print("Corrente I1:",I[0],"A")
print("Corrente I2:",I[1],"A")
print("Corrente I3:",I[0]-I[1],"A") #aproximadamente = 0
Problema Prático 3.5
Calcule as correntes de malha i1 e i2 no circuito da Figura 3.19.
In [3]:
print("Problema Prático 3.5")
V1 = 45
V2 = 30
#Malha 1:
#2i1 + 12(i1 - i2) + 4i1 = V1
#18i1 - 12i2 = 45
#6i1 - 4i2 = 15
#Malha 2:
#3i2 + 12(i2 - i1) + 9i2 = -V2
#-12i1 + 24i2 = 30
#-2i1 + 4i2 = -5
coef = np.matrix("6 -4;-2 4")
res = np.matrix("15;-5")
I = np.linalg.inv(coef)*res
print("Corrente i1:",I[0],"A")
print("Corrente i2:",I[1],"A")
Exemplo 3.6
Use a análise de malhas para encontrar a corrente Io no circuito da Figura 3.20.
In [4]:
print("Exemplo 3.6")
V1 = 24
CCVS = 4#io
#Malha 1:
#10(i1 - i2) + 12(i1 - i3) = V1
#22i1 - 10i2 - 12i3 = 24
#11i1 - 5i2 - 6i3 = 12
#Malha 2:
#24i2 + 4(i2 - i3) + 10(i2 - i1) = 0
#-10i1 + 38i2 - 4i3 = 0
#-5i1 + 19i2 - 2i3 = 0
#Malha 3:
#12(i3 - i1) + 4(i3 - i2) + 4i0 = 0
#i0 = i1 - i2
#-12i1 - 4i2 + 16i3 + 4(i1 - i2) = 0
#-8i1 - 8i2 + 16i3 = 0
#-i1 - i2 + 2i3 = 0
coef = np.matrix("11 -5 -6;-5 19 -2;-1 -1 2")
res = np.matrix("12;0;0")
I = np.linalg.inv(coef)*res
print("Corrente i0:",I[0]-I[1],"A")
Problema Prático 3.6
Usando a análise de malhas, determine Io no circuito da Figura 3.21.
In [7]:
print("Problema Prático 3.6")
V1 = 16
CCVS = 10#io
#Malha 1:
#-V1 + 4(i1 - i3) + 2(i1 - i2) = 0
#6i1 - 2i2 - 4i3 = 16
#3i1 - i2 - 2i3 = 8
#Malha 2:
#2(i2 - i1) + 8(i2 - i3) - CCVS = 0
#-2i1 + 10i2 - 8i3 = 10i0
#i0 = i3
#-i1 + 5i2 - 9i3 = 0
#Malha 3:
#6i3 + 8(i3 - i2) + 4(i3 - i1) = 0
#-4i1 - 8i2 + 18i3 = 0
#-2i1 - 4i2 + 9i3 = 0
coef = np.matrix("3 -1 -2;-1 5 -9;-2 -4 9")
res = np.matrix("8;0;0")
I = np.linalg.inv(coef)*res
print("Corrente i0:",I[2],"A")
Caso 1: Quando existe uma fonte de corrente apenas em uma malha: considere, por exemplo, o circuito da Figura 3.22. Fazemos i2 = –5 A e escrevemos uma equação de malha para a outra malha da maneira usual, isto é:
\begin{align} {\Large -10 + 4i_1 + 6(i_1 - i_2) = 0} \\{\Large i_1 = -2 A} \end{align}Caso 2: Quando uma fonte de corrente existe entre duas malhas: considere o circuito da Figura 3.23a, por exemplo. Criamos uma supermalha, excluindo a fonte de corrente e quaisquer elementos a ela associados em série, como mostrado na Figura 3.23b. Logo:
Uma supermalha é resultante quando duas malhas possuem uma fonte de corrente (dependente ou independente) em comum.
uma supermalha deve realizar a LKT como qualquer outra malha. Assim, aplicando a LKT à supermalha da Figura 3.23b, temos:
\begin{align} {\Large -20 + 6i_1 + 10i_2 + 4i+2 = 0} \\{\Large 6i_1 + 14i_2 = 20} \\Assim: \\{\Large i_1 = -3,2 A} \\{\Large i_2 = 2,8 A} \end{align}Exemplo 3.7
Para o circuito da Figura 3.24, determine i1 a i4 usando a análise de malhas.
In [8]:
print("Exemplo 3.7")
V1 = 10
C1 = 5
CCCS = 3#io
#Supermalha:
#2i1 + 4i3 + 8(i3 - i4) + 6i2 = 0
#2i1 + 6i2 + 12i3 - 8i4 = 0
#i4 = -i0
#i1 + 3i2 + 6i3 + 4i0 = 0
#i2 - i3 = 3i0 => i3 = i2 - 3i0
#i2 - i1 = 5 => i1 = i2 - 5
#i2 - 5 + 3i2 + 6(i2 - 3i0) + 4i0 = 0
#10i2 - 14i0 = 5
#Malha 4:
#V1 + 8(i4 - i3) + 2i4 = 0
#-8i3 + 10i4 = -10
#-4i3 - 5i0 = -5
#-4(i2 - 3i0) - 5i0 = -5
#-4i2 + 7i0 = -5
coef = np.matrix("10 -14; -4 7")
res = np.matrix("5;-5")
I = np.linalg.inv(coef)*res
i1 = I[0] - 5
i4 = -I[1]
print("Corrente i1:",i1,"A")
print("Corrente i4:",i4,"A")
Problema Prático 3.7
Use a análise de malhas para determinar i1, i2 e i3 na Figura 3.25.
In [9]:
print("Problema Prático 3.7")
V1 = 8
C1 = 4
#Supermalha (Malha 1 e Malha 2):
#2(i1 - i3) + 4(i2 - i3) + 8i2 = 8
#2i1 + 12i2 - 6i3 = 8
#i1 + 6i2 - 3i3 = 4
#i1 - i2 = 4 => i2 = i1 - 4
#i1 + 6(i1 - 4) - 3i3 = 4
#7i1 - 3i3 = 28
#2i3 + 4(i3 - i2) + 2(i3 - i1) = 0
#-2i1 - 4i2 + 8i3 = 0
#-i1 - 2i2 + 4i3 = 0
#-i1 - 2(i1 - 4) + 4i3 = 0
#-3i1 + 4i3 = -8
coef = np.matrix("7 -3;-3 4")
res = np.matrix("28;-8")
I = np.linalg.inv(coef)*res
i2 = I[0] - 4
print("Corrente i1:",I[0],"A")
print("Corrente i2:",i2,"A")
print("Corrente i3:",I[1],"A")